Le demi-plan de Poincaré (1882)

Publié le 4 novembre 2012 par Mathenigme

Le demi-plan de Poincaré est formé par les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Il fournit un exemple de géométrie non euclidienne, plus précisément de géométrie hyperbolique.

Géométrie

On considère le demi-plan supérieur :

$\mathcal H_2=\left\{z=x+iy~|~y>0\right\}.$

Métrique

On munit le demi-plan supérieur de la métrique :

$\mathrm ds^2=\frac{a^2 \, \left(\mathrm dx^2+\mathrm dy^2\right)}{y^2}.$

Cette métrique possède une courbure scalaire constante négative :

$R=-\frac1{a^2}.$

On se ramène usuellement au cas d'une courbure unité, c’est-à-dire qu'on choisit : $a = 1$ pour simplifier les équations.

Géodésiques

Les géodésiques sont les demi-droites (au sens euclidien) verticales : $x = cte$ (en rouge) et les demi-cercles (au sens euclidien) perpendiculaires à l'axe des abscisses : $y = 0$ (en bleu) :

Homographies

Les matrices de GL₂⁺(ℝ) agissent sur cet espace, par homographies . Plus précisément, soit $g$ un élément de GL₂⁺(ℝ) :

$g=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\qquad\mathrm{det}(g)=ad-bc>0.$

Son action sur un point $z$ du demi-plan est donnée par :

$g(z)=\frac{az+b}{cz+d}.$

Dynamique chaotique

Le flot géodésique sur une variété riemannienne à courbure négative est le prototype de système dynamique à temps continu le plus chaotique qui soit. Pour plus de détails, voir la section « Dynamique chaotique » de l'article « Géométrie hyperbolique ».