Conjecture de Goldbach

Publié le 11 juin 2011 par Mathenigme

La conjecture de Goldbach stipule que tout nombre entier pair strictement supérieur à 2 peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers (le même nombre premier pouvant être utilisé deux fois). C'est l'un des plus vieux problèmes non résolus de la théorie des nombres et des mathématiques.

Par exemple,

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11 = 7 + 7

etc.

Une formulation équivalente via une division par deux :

Tout nombre entier strictement supérieur à 1 est la moyenne arithmétique de deux nombres premiers.

Les astuces ................................................................................................................................

La majorité des mathématiciens pense que la conjecture de Goldbach est vraie, surtout sur des considérations statistiques axées sur la répartition probabiliste des nombres premiers : plus le nombre est grand, plus il y a de manières disponibles pour le représenter sous forme de somme de deux ou trois autres nombres, et la plus « compatible » devient celle pour qui au moins une de ces représentations est constituée entièrement de nombres premiers.

Une version très grossière de l'argument probabiliste heuristique (pour la forme forte de la conjecture de Goldbach) est la suivante. Le théorème des nombres premiers affirme qu'un entier $m$ sélectionné aléatoirement d'une manière brute possède $\tfrac1{\ln m}$ chance d'être premier. Ainsi, si $n$ est un grand entier pair et $m$ , un nombre compris entre 3 et $n / 2$ , alors on peut s'attendre à ce que la probabilité que $m$ et $n - m$ soient tous deux premiers soit égale à $\tfrac1{\ln m \ln (n-m)}$ . Cet argument heuristique n'est pas rigoureux pour de nombreuses raisons ; par exemple, on suppose que les évènements que $m$ et $n - m$ soient premiers sont statistiquement indépendants l'un de l'autre. Si l'on poursuit quand même ce raisonnement heuristique, on peut estimer que le nombre total de manières d'écrire un grand nombre entier pair $n$ comme la somme de deux nombres premiers impairs vaut environ

$\sum_{m=3}^{n/2} \frac{1}{\ln m} \frac{1}{\ln (n-m)} \approx \frac{n}{2 \ln^2 n}.$

Puisque cette quantité tend vers l'infini lorsque $n$ augmente, on peut s'attendre à ce que tout entier pair suffisamment grand non seulement possède au moins une représentation sous forme de somme de deux nombres premiers, mais en fait en possède beaucoup.

L'argument heuristique ci-dessus est en fait quelque peu imprécis, car il ignore certaines corrélations entre les probabilités que $m$ et $n - m$ soient premiers. Par exemple, si $m$ est impair alors $n - m$ aussi, et si $m$ est pair alors $n - m$ aussi, or les nombres premiers sont tous impairs à part 2. De même, si $n$ est divisible par 3, et si $m$ est déjà un nombre premier distinct de 3, alors $n - m$ est aussi premier avec 3 donc sa probabilité d'être premier est légèrement supérieure à celle d'un entier quelconque. En poursuivant ce type d'analyse avec plus de soin, Hardy et Littlewood conjecturèrent en 1923 (c'est une partie de la célèbre conjecture des $n$ -uplets premiers de Hardy-Littlewood) que pour tout c ≥ 2 fixé, le nombre de représentations d'un grand entier $n$ sous la forme de somme de $c$ premiers $n=p_1+ \cdots +p_c$ avec $p_1 \leq \ldots \leq p_c$ devrait être équivalent à

$\left(\prod_p \frac{p \gamma_{c,p}(n)}{(p-1)^c}\right) \int\limits_{2 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_c \atop x_1+\ldots+x_c = n} \frac{\mathrm dx_1 \ldots \mathrm dx_{c-1}}{\ln x_1 \ldots \ln x_c}$

où le produit porte sur tous les nombres premiers $p$ , et $γ c, p (n)$ est le nombre de solutions de l'équation $n\equiv q_1 + \cdots + q_c \mod p$ en arithmétique modulaire, soumise aux contraintes $q_1,\ldots,q_c\not\equiv 0 \mod p$ . Cette formule a été rigoureusement démontrée comme étant asymptotiquement valide pour c ≥ 3 à partir du travail de Vinogradov, mais est encore à l'état de conjecture pour $c = 2$ . Dans ce dernier cas, l'expression ci-dessus est nulle lorsque $n$ est impair, et lorsque $n$ est pair elle se simplifie en

$2\Pi_2\left(\prod\limits_{p|n\atop p\ge3}\frac{p-1}{p-2}\right)\int_2^n\frac{\mathrm dx}{\ln^2x}\approx2\Pi_2\left(\prod\limits_{p|n\atop p\ge3}\frac{p-1}{p-2}\right)\frac n{\ln^2n},$

où $Π 2$ est la constante des nombres premiers jumeaux

$\Pi_2=\prod_{p\ge3}\left(1-\frac1{(p-1)^2}\right)=0,660~161~815~8\ldots.$

Cette formule asymptotique est quelquefois appelée conjecture étendue de Goldbach. La conjecture forte de Goldbach est en fait très similaire à celle des nombres premiers jumeaux, et les deux conjectures sont présumées de difficulté comparable.